一,题目:
最大子段和:
给定一个长度为n的一维数组a,请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum=a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大,其中i>=0,i<n,j>=i,j<n
例如:31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
二,源码
第一种:直接穷举法:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84};
int sum;
int maxsofar=0;
for(int i = 0 ;i< 10;++i)//控制子数组开始位置
{
for(int j = i; j< 10 ;++j)//控制子数组结束位置
{
sum=0;
for(int k=i;k<j;++k)
sum+=a[k];
if(maxsofar<sum)
maxsofar=sum;
}
}
cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;
return 0;
}
时间复杂度为O(n*n*n)
第二种:带记忆的递推法:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84};
int sum;
int maxsofar=0;
int current[10];
current[0]=a[0];
for(int i=1 ;i< 10;++i) //首先生成个数为1,2,3……10个的数组和
{
current[i]=current[i-1]+a[i];
}
for(int i=0;i< 10;++i)
{
for(int j=i;j< 10;++j) //下面通过已求出的和递推
{
sum=current[j]-current[i-1];
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum;
}
}
cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl;
return 0;
}
显然第二种方法比第一种方法有所改进,时间复杂度为O(n*n)。
第三种:动态规划
下面我们来分析一下最大子段和的子结构,令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和。
b[j]的当前值只有两种情况:
(1) 最大子段一直连续到a[j]
(2) 以a[j]为起点的子段 //如果不是第(1)种,则(1)肯定为负,舍去
还有一种情况,那就是最大字段没有包含a[j],如果没有包含a[j]的话,那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了,注意我们只是算到位置为j的地方,所以最大子段在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为:b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]},
所求的最大子段和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84};
int b=0,sum=a[0];
for(int i=0;i<10;i++)
{
if(b>0)
b+=a[i];
else
b=a[i];//如果前面为零,如果相加,则影响后面结果,所以抛弃前面总和
if(b>sum)
sum=b;
}
cout<<"MaxSum:"<<sum<<endl;
return 0;
}
算法复杂度:O(n)
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