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【算法设计】最大子矩阵问题

 
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一,最大子矩阵问题:
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵,请找到此矩阵的一个子矩阵,并且此子矩阵的各个元素的和最大,输出这个最大的值。
Example:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵:
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

二,分析

子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

例如

  A=\begin{bmatrix}     a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}  \end{bmatrix}
  A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix}    a_{11} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{23} & a_{24}   \end{bmatrix}

它亦可用A(3;2)表示,显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用,但还是没有标准的方法表示子矩阵。


以上为维基百科上给出的定义,感觉跟此题的定义不是一回事呢?


我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?

请先参考-->最大子段和问题
这个问题与最大子段有什么联系呢?

假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |


那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

三,源码

C++:

#include <iostream>
using namespace std;

int maxSubArray(int a[],int n)
{
     int b=0,sum=a[0];
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
       if(b>0) 
          b+=a[i];
       else 
          b=a[i];
       if(b>sum)
          sum=b;
     }
    return sum;  
}
int maxSubMatrix(int array[][3],int n)
{
            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
            int b[3];
            for(i=0;i<n;i++)
            {
                  for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
                  {
                        b[k]=0;
                  }
                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
                  {
                        for(k=0;k<n;k++)
                        {
                              b[k]+=array[j][k];
                        }
                        max=maxSubArray(b,k);  
                        if(max>sum)
                        {
                                sum=max;
                        }
                  }
            }
            return sum;
}
int main()
{ 
    int n=3;
    int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};
                      
    cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;
            
 }


java:

import java.util.Scanner;
public class PKU_1050
{
     private int maxSubArray(int n,int a[])
      {
            int b=0,sum=-10000000;
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                  if(b>0) 
                      b+=a[i];
                  else 
                      b=a[i];
                  if(b>sum)
                     sum=b;
            }
            return sum;  
      }
      private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
      {
            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
            int b[]=new int[101];
            for(i=0;i<n;i++)
            {
                  for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
                  {
                        b[k]=0;
                  }
                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
                  {
                        for(k=0;k<n;k++)
                        {
                              b[k]+=array[j][k];
                        }
                        max=maxSubArray(k,b);  
                        if(max>sum)
                        {
                                sum=max;
                        }
                  }
            }
            return sum;
      }
      public static void main(String args[])
      {
            PKU_1050 p=new PKU_1050();
            Scanner cin=new Scanner(System.in);
            int n=0;
            int[][] array=new int[101][101];
            while(cin.hasNext())
            {
                       n=cin.nextInt();   
                       for(int i=0;i<n;i++)
                       {
                                  for(int j=0;j<n;j++)
                                  {
                                             array[i][j]=cin.nextInt();
                                  }
                       }
                       System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
            }
      }
}




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